在20世纪当代数学的浩瀚分支学科中，代数几何是一门十分要害而又相比罕见的分支，它与代数、分析、数论、几何、拓扑以及数学物理等各主要学科都有紧密的商酌，施行上，抽象代数、代数拓扑、微分拓扑、合座微分几何故及分析学中的许多要害表面都是因代数几何研究的需要而提议的。因此代数几安在数学中起着一种中心纽带的作用，是当代数学统一化趋势的主要体现者。关联词从19世纪到20世纪的中世，代数几何其实一直是在一个勤快严格逻辑基础的环境中深邃地上前发展的。最终，数学家格罗滕迪克（Grothendieck）在1960年代用概形(scheme)表面为代数几何奠定了沉稳的逻辑基础，从而促进了当代数学的大发展。本文简要回归了从代数簇到当代的概形表面的代数几何发展史。

一、在19世纪之前的发源

经典代数几何的主要研究对象是“代数簇”(algebraic variety)，最浮浅的代数簇(也称为代数集)是一组多元多项式的零点聚拢。

当其中的各个多元多项式都是一次多项式时，那么它便是线性代数中所研究的线性方程组，此时的代数簇便是咱们都练习的线性方程组的解空间。关联词当多项式不是一次时，代数簇的研究就极端的复杂，需要用到代数、几何与分析等学科中的大宗数学轮番和器具。

对代数簇的研究施行上从古代希腊就伊始了，古希腊数学家们所练习的直线、圆、圆锥弧线、三次弧线都是最浮浅的代数弧线，而平面、球面、柱面和二次曲面都是最浮浅的代数曲面，这些代数弧线和代数曲面都属于只用一个多元多项式来详情的代数簇。在莫得直角坐标系的条款下，阿波罗尼乌斯(Apollonius)行使了在今天看来是很奸诈的欧氏几何轮番，对圆锥弧线作了十分闪耀的研究，发现了它的许多基人性质。

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图1：从圆锥弧线到二次曲面

到了近代，法国数学家笛卡尔(Descartes)和费马(Fermat)在行使解析几何的轮番来研究恣意代数弧线方程的时候，事情就发生了质的飞跃。古代希腊数学家由于莫得代数器具，他们只可局限于研究低次代数方程所暗意的弧线或曲面，而有了解析几何之后，在表面上就不错磋议恣意次数的代数弧线或代数曲面，从而就不错把通盘的几何问题都改动为代数问题来措置。东说念主们伊始研究平面代数弧线 和空间代数曲面 ，况兼发现了在坐标变换下弧线与曲面方程次数的不变性。费马诠释了通盘非退化的二次代数弧线都是圆锥弧线。微积分的发明者之一、数学家牛顿还对三次平面代数弧线进行了初步的分类(共有72种)，而18世纪的大数学家欧拉(Euler)则对通盘的二次代数曲面进行了分类。

在17世纪时，德沙格(Desargues)通过研究画家的透视轮番而形成了射影对应的办法，他还引进了无尽远点的办法。在普通的欧氏平面和空间中加入了无尽远点后，就得到了紧致的射影平面和3维射影空间，它们是许多经典代数簇地方的空间。另一方面，欧拉的虚数办法的引入也进一步完成了代数方面的“闭塞化”（举例一元代数方程固然不一定有实根，但老是有复根），由此不错简化许多数学命题的表述。举例在普通的欧氏平面中，非退化的二次代数弧线要分为椭圆、双弧线和抛物线这三种弧线，而在复射影平面中，非退化的二次代数弧线唯唯一种，况兼三次代数弧线不是牛顿所分的72种类型，而是唯独三种弧线。

牛顿和莱布尼茨(Leibniz)还用所谓的“消去法”得到了详情两条代数弧线相交点的方程组（这些方程组在大学高级代数课本中被称为“结式”方程组）。在此基础上，数学家贝祖(Bézout)诠释了有名的贝祖定理：设C和C’是次数划分为m和n的平面射影复代数弧线，则C和C’相交于mn个点(计入重数)。举例从名义上看，复射影平面内的一条直线与一条抛物线的相交情形一共有四种：交于两点、交于少量、相切与无交点。但其实直线与抛物线交于少量时，它们还相交于抛物线上的无尽远点，而相切不错邻接成它们相交于两个重合在一王人的点，至于不相交的情形，则不错算作是它们相交于复平面上的两个被称为“圆点”的虚的无尽远点。这样，一次的直线与二次的抛物线在复射影平面上总有1×2＝2个交点。又如一个椭圆与一条三次弧线老是相交于2×3＝6个交点等等。贝祖定理施行上是代数几何中相交表面的起点。

代数几何的第二个主要起首是分析学中的椭圆积分表面。所谓椭圆积分，是指如下口头的积分：

其中的 是有理函数， 是3次或4次多项式。研究椭圆积分的领先想法是为了策画椭圆的周长，咱们在微积分里一经知说念，近似于求椭圆周长的这种定积分是莫得原函数的，也便是“积不出来”的积分，它们只可通过近似策画的轮番来求出定积分的值。欧拉对一个相比浮浅椭圆积分，也曾诠释了一个与反三角函数积分性质相似的“加法公式”：

这个加法公式其实是一类十分要害的代数弧线——椭圆弧线上群结构的萌芽。

二、19世纪对代数簇的初步研究

19世纪是射影几何的黄金时期，以庞斯莱(Poncelet)为代表的一批数学家建立了射影几何的系统表面，总结和整理了大宗的射影几何命题和轮番，罕见是射影变换的表面。举例不错将圆锥弧线算作是两个互相射影对应线束的对应直线的交点轨迹等。东说念主们发现了交比这一射影变换下的不变量，研究的对象也从“点几何”扩大到了“线几何”，况兼伊始研究射影空间里由两个代数曲面相交而产生的空间弧线。

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图2：庞斯莱与射影几何的黄金时期

东说念主们不错诠释在每个三次代数曲面上都有27条直线，以及每条非退化四次平面代数弧线都有28条与该代数弧线同期相切两次的双切线，而很有名的普吕克(Plüker)公式则描画了平面代数弧线上的奇点性质。

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图3：在每个三次代数曲面上都有27条直线

这个阶段的研究恶果还包括了：直纹曲面、2次直线簇、格拉斯曼簇(Grassmann variety)、塞格雷(Segre)的代数簇乘积的界说等。此时所研究的代数簇的维数也伊始打破3维，进入到了恣意的n维。罕见是数学家们伊始有了“模空间”的想法，即辩论一组知足吞并条款（举例方程的次数调换）的代数弧线聚拢，它们的全体又不错算作是另一个更高维数的射影空间里的一个代数簇。

在这时的射影几何表面里，有一些触及到计数几何(enumerative geometry)的定理，其中有一个很有名的定理是说：与5条已知圆锥弧线都相切的圆锥弧线一共有3264条。

在19世纪初，阿贝尔(Abel)又将椭圆积分大幅度地奉行成了阿贝尔积分(即有理函数积分)

其中的 是有理函数, 与 必须知足代数方程(即代数弧线)

其中的函数 是多项式。况兼阿贝尔也得到了对于阿贝尔积分的近似的“加法公式”。这个公式施行上泄露了用积分口头暗意的代数弧线上除子(divisor)的等价性关系，它在自后黎曼等东说念主的手中进一步发展成为代数弧线上的阿贝尔簇(Abelian variety)的表面。阿贝尔簇是一种在当代数论中十分要害的代数簇。

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图4：伟大的数学家黎曼

黎曼是19世纪最伟大的数学家。他在研究阿贝尔积分表面的经过中提议了内蕴的“黎曼曲面”的办法和黎曼曲面上代数函数的表面。阿贝尔积分是复变函数论中与复代数弧线紧密联系的一种复积分，刻下在复平面内，若是是一个二元复多项式，那么＝就界说了一条复代数弧线，堤防在这里不错取复数值的x和y都是实2维的复变量，因此复平面就不错算作是实4维空间，而相配于两个实数等式的复数等式＝施行上又详情了两个4维空间中的曲面，由于每增多一个实数等式就相配于减少一个几何维数，于是复代数弧线＝施行上便是一个4－2＝2维的实曲面。这样，每一条复代数弧线都对应了一个抽象的被称为黎曼曲面的几何对象。

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图5：黎曼曲面

黎曼的运行方向是对黎曼曲面上通盘的阿贝尔积分进行分类，由此开赴他得到了一系列描画黎曼曲面性质的要害定理。由黎曼曲面与代数弧线的逐一双应关系可知，他施行上是得到了不少对于代数弧线表面的要害恶果，因此咱们不错讲，是黎曼开创了用分析来研究代数弧线的轮番。

黎曼初度发现了“亏格”这一当代几何的基本办法(直不雅地讲它对应了几何对象上“洞”的个数)，并提议了代数几何中最基本的双有理变换的念念想。若是代数弧线 上的点 与 上的点 之间有以下的有理变换(对应)关系

那么就称这两条代数弧线是双有理等价的。双有理变换是一种比射影变换愈加往常的变换，它粗略保持代数弧线的亏格 不变，况兼此时两条代数弧线上的有理函数域一定是同构的。数学家们在自后逐渐结实到：不错通过有理函数域这一代数对象，来施行描画和掌控代数弧线这一几何对象。因此这施行上便是建立了几何与代数之间的基本商酌。从黎曼的时期到刻下，从某种进度上不错说，代数几何的主要轮番便是通过研究代数簇上的有理函数域来得到代数簇自己的性质。黎曼和他的学生罗赫一王人，还发现了有名的代数弧线上的黎曼-罗赫定理：

其中 是代数弧线上的恣意除子( 是整数， 是代数弧线上的点)， 是 的次数， 是由代数弧线上知足一定条款的全体有理函数构成的线性空间 的维数，l（K－D）的意思是近似的， 是由代数弧线上的微分口头所详情的典则除子，上述等式右边的 便是代数弧线的亏格。这个定理反应了代数弧线上的某些由知足一定条款的有理函数构成的线性空间的性质是何如受到亏格 这一几何不变量胁制的。这个深入定理自后在20世纪被奉行到了高维代数簇的情形，并平直导致了有名的阿蒂亚-辛格方向定理的发现。

也许咱们不错这样以为，黎曼在1854年的有名演讲中所给出n维黎曼流形的初步办法，不单是是为了研究物理学意思上几何空间的需要，其实亦然在为探索一般的代数簇性质所作念的准备使命。黎曼在历史上第一次发现，在一般的高维微分流形上也不错竖立恣意的度量。他经过仔细的推算，发现了描画黎曼流形局部几何性质的主要不变量——黎曼曲率张量 。这些张量施行上成为了合座微分几何发展的起点，况兼最终都和会过某种变化了的口头而进入到了代数几何的表面中。愈加令东说念主难以置信的是，黎曼在研究数论时所提议的大名鼎鼎的“黎曼推断”，自后竟也变成了股东代数几何发展的强盛能源。所谓的黎曼推断是说：

“

复变函数黎曼 函数

的全部非通俗复零点的实部都等于。黎曼推断是一个内涵极其>丰富的推断，它是当代数学中还莫得被诠释的最要害的推断。

”

代数数论其实亦然代数几何的第三个主要起首。为了研究代数数域的需要，19世纪的数学家克罗内克(Kronecker)和谢意金(Dedekind)等东说念主引入逸想、赋值和除子等基本办法。以这些数学家为代表的“代数派系”的使命方向是设法对黎曼用分析轮番给出的扫尾作出纯代数的诠释，颠扑不破，这对代数几何这门学科的性质来讲是至关要害的。

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图6：克罗内克(左)和谢意金

如前所述，每个代数弧线(或黎曼曲面)的双有理(或共形)等价类都对应和详情了一个同构的有理函数域L，它是复数域C的有限延迟。若是已知代数弧线(或黎曼曲面)S, 每个点都不错详情一个疏漏赋值 ： (Z是整数集)。谢意金和韦伯(Weber)的想法是将这个经过倒过来：从给定的的域的有限延迟L / C开赴, 具体地构造出一个代数弧线(或黎曼曲面)来, 使得它的有理函数域正巧便是这个域L。从这个斗胆的想法里咱们不错看到当代概形办法的雏形：从代数的对象开赴来构造几何对象。谢意金和韦伯在用域L构造代数弧线时，将L上的每个非通俗的疏漏赋值都界说为“L所对应的代数弧线(或黎曼曲面)S的一个点”，从而就得到了一个抽象的“代数弧线(或黎曼曲面)”。自然，构造这种抽象的“代数弧线”并不是在作念枯燥的数学游戏。在研究代数簇的双有理分类问题中，通常需要在吞并个等价类中寻找一个性质相比好的代表元素，而这个元素往往便是通过这种奇怪的方式东说念主为地构造出来。举例1939年扎里斯基在诠释代数曲面的奇点解消定理时，亦然行使了这个轮番。

与此同期，以马克斯·诺特(Max Noether)和克莱布施(Clebsch)为代表的“几何派系”连续从经典射影几何的角度研究复代数弧线和复代数簇，他们他们进一步澄澈和发展了黎曼的对于双有理变换和黎曼-罗赫定理的表面，况兼发现了平面代数弧线奇点解消的基本轮番，即所谓的二次变换“胀开”(blowing up)的轮番。

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图7：马克斯·诺特和平面代数弧线的奇点解消轮番

三、19世纪末到20世纪早期对代数簇的深入研究

从19世纪末期伊始，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段。以皮卡(Picard)和庞加莱(Poincaré)为代表“分析派系”试图将黎曼的复代数弧线表面奉行到复代数曲面上。固然这里的(复的)维数只是增多了一维，但是与代数弧线的情形王人备不同，研究代数曲面需要克服许多困难，难度极大。举例在复三维的空间中，若是g(x,y.z)是一个三元复多项式，那么g(x,y.z)＝0便是一个复代数曲面。与复代数弧线近似，g(x,y.z)＝0施行上详情了实6维空间中的一个6－2＝4维的实微分流形。

近似于黎曼研究上的有理函数的积分

皮卡研究代数曲面 上有理函数的积分

他用形如 ( 为常数)的一组平面去截割上述代数曲面, 在所得的代数弧线上再行使黎曼的扫尾, 然后分析当 变化时的情形，得到了一些要害的扫尾。

与代数弧线一样，代数曲面上有理函数的积分也受曲面的拓扑性质的胁制。举例对于曲面 上与微分口头商酌的典则除子 ，由它所详情的函数空间的维数知足 ，其中的 被称为代数曲面的几何亏格。与代数弧线唯独单一的亏格 不同，描画代数曲面除了几何亏格 之外，还需要算术亏格 等其他的不变量。

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图8：庞加莱创立了代数拓扑中的同保重论

在研究代数曲面的经过中，极端需要了解高维流形的拓扑性质。庞加莱为此开创了代数拓扑的同调(homology)表面。为了弄明晰黎曼所说的高维“贝蒂(Betti)数”到底是什么，庞加莱伊始建立单纯复形的同保重论，以便粗略严格地诠释黎曼的直不雅推断。他从1895伊始，写出了有名的对于同保重论的一系列文章。其时，庞加莱还莫得效群论的谈话，自后在1930年代经E. 诺特(Emmy Noether)建议，东说念主们才改用了群论的术语。在今天，咱们不错用简练的谈话来形色庞加莱所引入的基本办法：先将代数簇 进行三角剖分后得到单纯形 ，然后界说鸿沟运算同态 ，从而不错得到单纯复形

由于有基本的等式  , 是以粗略构造单纯同调群(其实亦然线性空间)

这样，第 个贝蒂数便是该线性空间的维数

它们都是拓扑不变量，不错用来描画代数簇的几何性质。

接着莱夫谢茨(Lefchetz)在20世纪初期进一步用这个同保重论伊始研究复代数曲面的拓扑性质，得到了许多深入的定理。对于代数曲面表面研究的最主要的孝敬照旧来自于有名的“意大利派系”。这个派系的三个主要代表东说念主物是卡斯泰尔诺沃(Castelnuovo)、恩里奎斯(Enriques)和塞维里(Severi)，他们在20世纪初期用天才的几何直观和文明的几何手段，详细行使包括分析与拓扑轮番在内的各式轮番创造了复代数曲面的一个极端深入的表面，包括代数曲面的奇点解消、代数曲面的除子与线性系的经典表面、代数曲面的黎曼-罗赫定理的初步口头以及代数曲面的模空间等等。

但同期意大利派系的使命也有一个很大的残障，那便是枯竭一个统一的逻辑基础，一些“诠释”要依赖于数学家心目中某种神秘的几何直不雅，因而勤快严实性。和数学史上常见的情形一样，这种逻辑基础不稳的气象对于视严格为人命的数学家们来说是一件罕见纠结的事，它严重费劲了代数几何的上前发展。

四、将抽象代数轮番引入到代数几何中

要信得过严格地建立起代数几何的推理逻辑基础，离不开抽象代数，这是因为抽象代数粗略在最一般的情形中准确地形色代数簇的性质。在1900到1930年之间，一经伊始出现了一些抽象代数的表面，包括群、环、域和模等表面。群论主要起首于19世纪的伽罗瓦(Galois)表面，而环与逸想的办法则来自于谢意金的代数数论，它们的最早雏形是数域的代数整数环偏激逸想的办法。克罗内克不仅从代数数论中抽象出了一般的环与逸想的办法，况兼拉斯克(Lasker)在20世纪初期就发现了逸想与代数簇之间一些最基本的自然商酌，举例不可约仿射簇所对应的“坐标环(coordinate ring)”一定是整环，而不可约仿射簇的几何维数施行上就等于这个整环的商域在复数域上的高出次数等。

刻下咱们来解释环(ring)为什么对代数几何来说是很要害的。在由全体 元多项式构成的多项式环 中，任何由 个多元多项式所详情的代数集 也详情了一个逸想：

所谓代数集 的坐标环，便是由这个逸想所详情的商环

它也不错算作是 上全体 元多项式函数的聚拢。当 不可暗意成两个更小的代数集的并集(即不可约)时，就称 是一个仿射簇(affine variety)。此时的逸想一定是一个素逸想，而相应的坐标环是一个整环。因此咱们看到，在仿射簇与坐标环之间有逐一双应的关系：

仿射簇坐标环

若是咱们将几许个仿射簇适当地“拼贴”在一王人, 那么就得到了一个传统意思上的代数簇。因此仿射簇是代数簇的基本构成部分。举例 维射影空间 便是一个相比浮浅的代数簇，它是由 个普通 维欧氏空间经过拼贴而成的。

另一方面，有名的希尔伯特零点定理是说： 中的极大逸想和 的点是逐一双应的，因此坐标环的极大逸想就与仿射簇 的点逐一双应，这其实也意味着不错凭据代数的信息(即逸想)来构造几何的对象。这是自后概形办法粗略产生的最原始的想法。

克鲁尔(Krull)进一步建立了对于环的逸想方面相比系统的表面，包括环的局部化(localization)的办法、整闭环的性质、赋值表面和克鲁尔维数等内容。对代数几何来说，环的局部化办法黑白常基本的。对于仿射簇 来说，整环 的商域是它的有理函数域 。对 上的任何点 ，都有一个局部环：

自后东说念主们发现，这些局部环的全体构成了不错给出仿射簇 几何特征的结构层(structure sheaf)。

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图9：E. 诺特建立了抽象代数的基本表面框架

E. 诺特是20世纪最伟大的女数学家，她亦然代数几何学家马克斯·诺特的女儿。在E. 诺特之前，代数学基本上只局限在实数域和复数域中进行研究，是E. 诺特起初结实到代数结构是代数学中的首要办法，她对建立起抽象代数学的基本表面框架起着主要的作用。范德瓦尔登(van der Waerden)所写的两卷名著《代数学》便是为系统总结E. 诺特和E. 阿丁(E. Artin)的环论以偏激他抽象代数表面而写的。E. 诺特将谢意金的代数数域的逸想理会表面奉行到一般的环上，得到了许多像“任何逸想均可暗意为准素逸想的交”这样的基本定理，罕见是对于“诺特环”这样的在代数几何中最常用到的办法和联系表面。

范德瓦尔登也对代数几何的逻辑基础汲引，有过要害的孝敬，他在1930年代写了一系列的文章，用抽象代数的轮番解释了以往代数几何学家们直不雅依稀的“一般点(generic point)”和“特殊化(specialization)”的信得过含义，给出了在相交表面中最基本的代数簇相交重数(intersection multiplicity)的严格界说。尤其值得一提的是：范德瓦尔登的学生和主要合营者周炜良也参与到了代数几何基础的重建使命中。周炜良是一位出身于上海的中国数学家，他的一世对代数几何有着许多基本的孝敬，其中最有名的是对于解析簇与射影簇等价的周定理，他还诠释了代数簇上闭链(cycle)的有理等价性定理，从而就不错界说一种要害的环——周环(Chow Ring)，它刻下是相交表面中的一个基础术语。

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图10：范德瓦尔登与周炜良

另一位在代数几何中大限制引入抽象代数轮番的数学家是扎里斯基(Zariski)。扎里斯基原本是意大利派系三位主要代表众人的学生，他对经他整理的意大利派系恶果的诠释严实性不及而感到不安和失意，是以他决定用抽象代数的轮番来再行给出通盘的诠释。伊始的时候，扎里斯基只是是将几何的谈话“翻译”成代数的谈话，但是他很快结实到将经典代数几何里的定理平行地翻译成其时的抽象代数谈话是远远不够的，许多时候扎里斯基必须我方再行发明新的抽象代数办法，并建立联系的抽象代数表面，智力知足形色代数簇复杂性质的需要。举例在给出要害的代数曲面奇点解消定理诠释的时候，扎里斯基就第一次收效地将环论中的整闭包的表面与克鲁尔的赋值环的表面行使到了代数几何中，况兼还创造了一个被称为“正规(normal)”的新的抽象代数办法。到自后，在代数几何里所需要用到的交换环学问是如斯之多，以致于扎里斯基和他的合营者特意写了两卷《交换代数》，来作为东说念主们学习代数几何的商酌学问。

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图11：扎里斯基在代数几何中引入抽象代数轮番

扎里斯基还界说了在代数几何中私有的“扎里斯基拓扑”的办法，其中一律将代数集的补集都界说为“开集”。咱们不错瞎想，任何两个这样的开集的杂乱都不是空集，因此在这种相比轻佻的拓扑里就不会只怕时点集拓扑中的豪斯多夫(Hausdorff)分离性公理。尽管如斯，扎里斯基拓扑却极端适当研究代数簇性质的需要。

五、合座微分几何轮番的引入

黎曼用分析的轮番研究代数簇的传统深深地影响了20世纪对于代数几何的研究。起初，合座微分几何的前驱外尔(Weyl)在研究克莱因(F. Klein)对于黎曼曲面的文章基础上，在1913年写了《黎曼曲面的办法》这本繁要害的文章，其中初度给出了黎曼曲面的当代界说，系统整理了黎曼曲面的解析表面。从外尔给出的黎曼曲面内蕴界说开赴，东说念主们就不宝贵到高维微分流形的一般界说，即微分流形是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，况兼通盘的坐标邻域之间的转机函数都是可微函数。自然，代数簇不一定是微分流形，因为它不错包含奇点。关联词从研究微分流形的经过中所产生的几何轮番和表面大多都不错被用到代数几何的研究当中。施行上，微分流形的界说便是自后的概形界说的源泉，这两个界说都强调不依赖外部的空间而孤立存在，而且局部都是与相比浮浅的几何对象同胚(或同构)。

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图12：合座微分几何的前驱外尔

相同是在20世纪早期，列维-王人维塔(Levi-Civita)为了弄明晰黎曼所发现的复杂的曲率张量的信得过含义，而提议了黎曼流形中“平行移动”的浮浅办法。外尔则进一步将它发展成为“仿射连合(affine connection)”这一当代微分几何的基本办法。所谓“连合”，浮浅地说便是切空间的求导法例，它在内容上一经与空间的度量无关。就像黎曼将度量从空间平分离出来一样，外尔也将连合从度量当平分离了出来。

合座微分几何另一位前驱是法国数学家E. 嘉当(E. Cartan)，E. 嘉当接下来是将连合的办法发展成为“广义空间”的基本办法。他的有名的“行径标架”轮番其实便是“向量丛(vector bundle)”办法的雏形，一般用以下标识来暗意向量丛：

其中的暗意从向量丛 到微分流形 的投影映射，对 上的每个点 来说，它们的“纤维” 都是向量空间(举例每个点 的切空间便是这样的向量空间，它们构成了 的切丛)。而描画流形周折进度的连合办法就不错奉行成向量丛上的连合。自后东说念主们又从向量丛的表面中抽象出了更一般的“纤维丛(fiber bundle)”表面。

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图13：合座微分几何的前驱E. 嘉当

E. 嘉当(以及先前的庞加莱)还引入了很要害的微分口头(也称为“外微分口头”)：

E. 嘉当行使了微分口头来暗意向量丛上的连合。在20世纪的20年代，其时确凿通盘的微分几何学家都只是使用张量分析，而唯独E. 嘉当在微分几何中使用微分口头的轮番，这黑白常超前的。E. 嘉当在研究李群(一种特殊的微分流形)的合座拓扑性质的时候，发现从微分口头中不错平直得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深入商酌。E. 嘉当作出了一个十分要害的推断：由微分流形 上的通盘微分口头详情的德拉姆(de Rham)同调群与 的上同调群(cohomology group)应该是同构的，即有

“同构”这一术语的意思是说，在代数上这两个群是王人备一样的。

德拉姆是E. 嘉当的学生，在1931年，德拉姆诠释了上述推断，使之信得过成为了“德拉姆定理”。这个定理是当代几何发展史上的一个里程碑。另一位数学家霍奇(Hodge)则进一步弄明晰了德拉姆同调群的里面结构，为这个群中的每一个元素都找到了和解（微分）口头来作为其代表，由于和解口头在椭圆型偏微分算子的作用下第于零，从而不错行使偏微分方程的轮番来愈加准确地暗意代数簇的几何不变量。

这里要罕见先容一下咱们练习的陈省身先生对于代数几何所作出的要害孝敬。陈省身早年亦然E. 嘉当的学生，他接纳了后者的纤维空间的念念想，况兼恒久在微分几何中一心一意地行使微分口头的轮番。陈省身在1944年用微分口头内蕴地诠释了高维流形 的高斯-博内(Gauss-Bonnet)定理：

这个等式左边的是 的球丛上的曲率微分口头，右边是流形 的欧拉示性数，这个要害定理标明了流形局部的分析不变量与合座的拓扑不变量之间的紧密商酌。

接下来，陈省身先生将诠释高斯-博内定理中的念念想用到了一般的复流形上, 用复流形 的纤维丛 上的微分口头详情了 的上同调群的元素——“陈(省身示性)类”：

这个极其要害的使命建立起了纤维丛的上同调群与微分流形的上同调群之间的平直商酌，泄露了纤维丛对于形色微分流形的合座拓扑性质的要害性。自后东说念主们逐渐发现，陈类是抒发高维代数簇几何性质（举例高维的黎曼-罗赫定理）的最基本的器具。

而要让纤维丛信得过进入代数几何，靠的是另一位数学家韦伊(Weil)的勤奋。韦伊是陈省身先生一世的知交，有十年的时分他们在一王人使命，共同探讨了纤维丛的表面。在1950年，韦伊起初发现了纤维丛表面不错用到代数几何中，这是因为他看出：复流形上的每个除子都对应了一个线丛(line bundle，即秩为1的向量丛)，而反应流形拓扑性质的主要方向欧拉-庞加莱示性数也必须用流形切丛的陈类来抒发。接着很快，高维代数簇的黎曼-罗赫定理也被其他数学家通过行使了纤维丛和层论(sheaf theory)而发现和诠释。这样，纤维丛表面就和差未几同期发展起来的层论通晓在一王人，成为了股东代数几何上前发展的强有劲刀兵。

六、当代数论中的韦伊推断

韦伊不错说是20世纪当代数学中涉猎最广的数学家，他对确凿通盘的基础数学主要分支学科都作出了要害的孝敬，它们划分是抽象代数、数论、算术代数几何、代数几何、合座微分几何、代数拓扑、李群和李代数、分析学等领域。韦伊研究代数几何的动机主要起首于数论——他很早就想诠释有名的黎曼推断。

韦伊弃取的是间接间接的计谋。浮浅说来便是先对一些相比浮浅的域(举例有限域)诠释黎曼推断，从中取得训诲，将来再辩论最难拼集的复数域上的黎曼推断。早在1923年，E. 阿丁(Artin)类比于谢意金的代数数域的黎曼 函数，界说了有限域上的黎曼 函数：

其中的 是一个次数为 的多项式，而这里的 是与有限域对应的某条代数弧线的亏格(自后东说念主们发现上述由E. 阿丁界说的黎曼 函数所知足的函数方程正巧便是对于该代数弧线的黎曼-罗赫定理)。包括E. 阿丁和韦伊在内的一些数学家推断：对有限域 上的代数弧线来说，多项式 的全部零点都在圆 上，而这恰是有限域上代数弧线的黎曼推断。

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图14：20世纪的大数学家韦伊

为了诠释这个推断，韦伊需要使用经典代数几何的轮番，是以他必须措置经典代数几何的基本办法迂缓不清、表面基础不稳的严重问题。为此韦伊在1946年特意写了一册书《代数几何基础》，在这部要害的文章中，韦伊仿照微分流形的界说，起初提议了内蕴的“抽象代数簇”的界说，他用有理函数作为转机函数，将局部的相比浮浅的仿射簇粘贴在一王人，成为了一个抽象代数簇，从而透彻开脱了外皮射影空间的敛迹，极地面扩展了代数几何的适用范围。韦伊还在他的抽象代数簇上初度使用了扎里斯基拓扑。在此基础上，韦伊用我方的方式建立了一整套代数几何的基础表面。他用交换代数的谈话，引入了代数几何中的一批要害的办法，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。固然从名义上看，韦伊所建立的这些表面自后好象都被概形表面王人备取代了，但其实它们只是换了一种口头，最终都被领受进了概形表面中。

1946年，在上头这本书出书之后不久，韦伊终于诠释出了他的对于有限域上代数弧线的黎曼推断。然后在1948年，韦伊凭据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇等高维代数簇在有限域上的点数所作念的策画扫尾，况兼在拓扑学的启发下，提议了高维代数簇上与黎曼推断近似的“韦伊推断”。这个令东说念主嗅觉是震天动地的韦伊推断，泄露了在有限域上代数簇的算术(arithmetic，即数论)性质与复数域上的代数簇拓扑性质之间具有极端深入的商酌。

七、层论的用处

要想诠释韦伊推断，数学家们需要太多的数学器具，其中就包括了还莫得被创造出来的概形表面。概形的办法中包含了两个方面的内容，第一个内容是抽象的“几何对象”，第二个内容是它上头的各式“函数”，也便是层。层论最早是由法国数学家勒雷(Leray)在20世纪40年代初提议的，他在二战前主要研究偏微分方程，二战中他被关进监狱，为幸免让德军派去作念应用性的研究，他在监狱里只研究属于基础数学的层论。

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图15：勒雷创立了层论

层的办法起首于复变函数论中的全纯函数(即解析函数)，层所包含的元素既不错是函数，也不错是包括了群、环和纤维丛的截面(section)等在内的其他各式东西，因此它不错算作是纤维丛的某种奉行。层 的界说节略是：设 是拓扑空间， 是开集，记 是 上“函数”的聚拢。在 的开集包含关系 之间，有章程（restriction）同态 ： ，使得掀开集 上的“函数”一定亦然位于其中的小开集 上的“函数”，况兼若是 是 的开阴事，况兼对任何 与，有“函数”相当的关系，则存在唯一的“函数” ，使得对任何，都有 。

层的优点是，它就像一个机动的百变魔术箱，不错包含各式几何与拓扑方面的信息。举例通过建立层的上同调群，不错从局部的信息来得到拓扑空间合座的信息，况兼还不错处理带有奇点的复杂的几何空间。20世纪50年代，数学家H. 嘉当(E. 嘉当的男儿)在研究多复变函数论的时候，发现勒雷的层论极端有效。H. 嘉当发现复代数几何满意大利派系的许多不变量都不错通过层的上同调群谈话，很容易地暗意出来。举例，若是设

是 维紧致连通复凯勒(Kähler)流形 上结构层 的复形，那么和代数拓扑中的单纯复形一样，不错界说层的上同调群

这时维数 便是的几何亏格，而它的算术亏格则是

H. 嘉当还进一步给出了环层空间(ringed spaces)的界说，它的作用是将浮浅的空间“粘贴”在一王人。H. 嘉当还与艾伦伯格(Eilenberg)一王人创立了同调代数的基本表面体系，诠释了同调代数中的许多定理。同调代数与交换代数一王人，成为了当代代数几何最基本的谈话。

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图16：H. 嘉当与多复变函数论、同调代数

另一位大肆股东让层论进入代数几何的数学家是塞尔(Serre)。塞尔也曾在早年研究了拓扑学中极端困难的球面同伦群的策画问题，以后他就参与到了H. 嘉当率领的多复变函数论和层论的研究中。和不少数学家一样，其实塞尔的最终研究方向之一亦然想诠释韦伊推断。塞尔在一种允许有奇点的施泰因(Stein)复流形上引入了十分要害的凝合层(coherence sheaf)的办法(它不错算作是纤维丛的某种模拟)，凝合层的上同调群具有十分高深的性质。接着塞尔又看出层论也不错用在比施泰因流形更特殊的复代数簇上，于是他就立即系统地将层论大限制地行使到了代数几何中。

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图17：塞尔在代数几何中大限制引入了层论

塞尔为代数几何构念念了一个最基本的研究对象，称为“塞尔簇(Serre Variety)”，其中充分领受了H. 嘉当的环层空间的办法。塞尔以为这是一个比韦伊的无须层论的抽象代数簇更浮浅的办法。咱们不错这样邻接：塞尔所作念的这一切，其实相配于是将合座微分几何中的纤维丛表面的念念想移植到了代数几何中。塞尔还对他的塞尔簇诠释了有名的“塞尔对偶性定理”

它刻下是策画概形的层的上同调群的基本公式。不外和韦伊的抽象代数簇一样，塞尔簇也有我方的残障，举例有一个触及“王人备性(complete)”的附加条款就章程了塞尔簇的使用范围。

八、概形表面的创立

施行上早在20世纪50年代的时候，就一经有东说念主意料了概形这个比塞尔簇更基础的办法，但是莫得东说念主信得过敢去施行建立这个概形表面。这是因为若是要将概形作为代数几何的最基本的研究对象，那么就等于是将迄今为止建立起来的通盘代数几何的表面大厦推倒重来，况兼构建这个空前广大的概形表面，需要详细一百多年来所产生的代数、分析、几何、数论与拓扑等学科的大宗主要恶果，以其使命量之庞杂，就十分需要一个像格罗滕迪克那样的超等天才式的东说念主物。

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图18：伟大的数学家格罗滕迪克

1928年3月28日，格罗滕迪克出身于德国柏林的一个犹太家庭，他在伊始其数学研究的生活时，所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。在这之后，格罗滕迪克参加到了同调代数的研究中。亦然在阿谁技巧，他伊始了与塞尔的耐久有名通讯。从塞尔以偏激他的数学家那处，格罗滕迪克学到了许多当代数学和代数几何的基本学问，转而对代数几何和数论产生了浓厚的意思。他研究建立代数几何基础表面的锋利动机之一其实亦然为了想诠释阿谁与黎曼推断近似的有限域上高维代数簇的韦伊推断。

前边也曾谈到在仿射簇 和它的坐标环之间有逐一双应的关系，因此对仿射簇的几何研究也就不错改动为对相应的坐标环的代数研究。关联词坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个特意的称号叫“ -代数( -algebra)”。由于不是每个交换环都不错成为仿射簇的坐标环(举例整数环Z便是如斯)，是以格罗腾迪克就想用恣意的交换环来构造一种近似于仿射簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都不错成为这种抽象几何对象的“坐标环”。

塞尔也曾在他的塞尔簇表面中诠释过一个要害的扫尾：交换环 的局部化的办法不错导致产生由 的通盘极大逸想构成的极大逸想谱 上的一个层。咱们也曾说过，仿射簇坐标环的极大逸想与仿射簇上的点亦然逐一双应的，由此东说念主们容易意料：用极大逸想谱 来作为与交换环 对应的“几何对象”，况兼但愿交换环之间的同态映射 ： 对应于这种新“几何对象”之间的正则映射。关联词缺憾的是， 的极大逸想 的逆像 并不老是 中的极大逸想。但是一朝当东说念主们把极大逸想换成了素逸想，这个问题便不存在了（在大学抽象代数课程里有一个基本的习题：诠释素逸想的同态逆像一定是素逸想）。

在1957年控制，卡吉耶(Pierre Cartier) 建议用交换环 的全体素逸想的聚拢 （称为素谱）来作为与 对应的“几何对象”，它应该是经典仿射簇的某种抽象的奉行。这个浮浅的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的起点。这是因为每个交换环 的素谱 连同它上头的结构层 一王人，都粗略构成一个环层空间 ，这个环层空间便是最浮浅的“概形”——仿射概形(affine scheme)。这个仿射概形便是格罗滕迪克心目中最基本的“抽象的几何对象”。一朝有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就粗略改动为对恣意交换环的代数研究，这样就将极地面拓展这种新几何的适用范围，达成东说念主们弥远以来心向往之的将代数几何与代数数论统一王人来的逸想。

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图19：仿射概形的基本想法

这个构想仿射概形的经过有点近似于谢意金和韦伯从复数域的有限延迟开赴来构造抽象的“代数弧线”一样。格罗滕迪克通过构造一种近似于仿射簇那样的抽象的几何对象“仿射概形”，使得每一个交换环都成为了这种仿射概形的坐标环。咱们不错这样来暗意这些对应关系：

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1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的国外数学家大会上作了一个酬谢。他的这个酬谢预报了其翌日十年的使命，相配于是给出了广大的概形表面的提纲。自后被誉为“代数几何的圣经”的八卷《代数几何学旨趣》(简称EGA)，便是格罗滕迪克在1960-1967年间按照这个提纲来写的。

仿射概形具体的构造经过是这样的：起初设 是一个恣意的交换环，记 为 中通盘素逸想的聚拢，则 便是咱们所需要的“几何空间”，它上头的每一个“点”都是一个素逸想。

接下来不错界说在这个“几何空间”上的函数。对于每个“点”(即素逸想) ，记 为整环 的商域，那么交换环 的每一个元素 都不错按如下的方式被以为是一个 上的函数：咱们界说 是 在镶嵌映射 下的像。举例当 属于素逸想 时，它在该镶嵌映射下的像是域 中的零。为了证实这里界说的函数如实是往常经典仿射簇 上多项式函数的奉行，咱们不错令 是 的坐标环，况兼令 是一个极大逸想(由希尔伯特零点定理知说念 代表一个点)，那么此时就有 ，而从以上的界说可知 的元素 在 点处的值其实便是传统意思上的多项式函数值。

有了函数，咱们就不错界说 中的“代数集(即零点集)”了。设 (即 是一些函数的聚拢)，则 的“代数集”的是

然后就和往常一样，将在 中的补集都界说为“开集”，于是就有了“几何空间” 上的“扎里斯基拓扑”。

构造仿射概形的临了一步是界说 上的“结构层” ，其基喜悦趣与在经典仿射簇顶用克鲁尔的局部环来形成结构层的作念法是近似的，只是推导的经过相比繁复。这样，“几何空间” 与“结构层” 一王人就构成了一个环层空间 ——它便是“仿射概形”。不错诠释，当是坐标环时，这里界说的“结构层”一定便是仿射簇 的传统意思上的结构层，从而咱们不错说仿射概形是仿射簇的奉行。

在有了以上对于仿射概形的商酌办法后，格罗滕迪克就粗略界说概形了。在有名的EGA的第一卷第一章中，咱们看到底下的两个界说：

“

（2.1.1）设有一个环层空间 ，所谓 的一个开子集 是一个仿射开集，是指环层空间 是一个仿射概形（1.7.1）。界说（2.1.2）——概形是指这样的环层空间，它的每一个点都有一个仿射开邻域。

”

格罗滕迪克在前一个界说里所说的“仿射开集”与后一界说中的“仿射开领域”的含义是一样的。换句话说，概形便是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也不错将概形和鄙俗地邻接为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”后而得到的。由于仿射概形是仿射簇的奉行，因此很彰着：概形如实是经典代数簇的抽象奉行。

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图20：格罗滕迪克写的《代数几何学旨趣》(EGA) 第一卷的中译本

格罗滕迪克的概形表面将代数几何打形成了一个在很猛进度上将几何、代数、数论与分析圆善统一王人来的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何表面所莫得的优点。举例在概形上，不错有严格的“一般点(generic point)”、“基变换(change of bases)”、以及“幂零元(nilpotent element)”等极端有效的办法，况兼不错用细巧的抽象代数的轮番来研究几何对象的各式抽象的“几何性质”，这样就为措置一巨额要害的经典数学问题拓荒了说念路。相同在概形上，咱们不错作念通盘的在经典代数簇上也曾作念过的事情，举例不错界说广义的“纤维丛”(即模层)、“除子”和“微分”，不错有层的上同保重论(包括Serre的对偶定理等)，不错建立严格的代数簇分类表面和和一般的黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交表面(包括周环和陈类)等等。在概形上也粗略作念往常根蒂无法作念到的事情，举例不错构造模空间的严格表面，尤其是不错建立粗略应用于数论的“算术代数几何”表面等。

在写罢了EGA之后，格罗滕迪克和他的合营者们又一王人马束缚蹄，连续撰写书名简称为SGA的另外八卷系列的代数几何专著。就这样，通过总篇幅达7500页的EGA和SGA这两套书的写稿，格罗滕迪克在20世纪60年代末，终于将经典的代数簇表面奉行成了适用面更广的概形表面，信得过为通盘代数几何建立起了一个沉稳的逻辑基础，况兼透彻重写了代数几何。

不外，先进的概形表面并不虞味着它是容易掌持的。恰恰相悖，东说念主们需要付出巨大的勤奋，还需要掌持大宗的交换代数与同调代数，智力够信得过邻接和掌持概形表面。往往在经典代数几何中是寥寥数语的事情，到了概形表面中评释就相比长。举例前边也曾说过，在概形表面所弃取的扎里斯基拓扑中，莫得豪斯多夫的分离性公理，因此在施行需要研究代数簇的分离性质的时候，就需要用相比复杂的映射性质来间接地描画分离性。

在今天，若是要让咱们平直通过阅读格罗滕迪克的EGA来学习概形表面的话，是有许多困难的。主要的问题还在于它的顶点一般的抽象性，以及它的篇幅巨大。好在代数几何学家哈茨霍恩(Hartshorne)在1977年写了一册极好的研究生教材《代数几何》（有科学出书社的中译本），它不错算作是EGA的一个浓缩简写本。

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图21：哈茨霍恩写的《代数几何》中译本

九、概形表面股东了代数几何的大发展

代数几何学家西里贝托（C. Ciliberto）曾说：“固然概形起首于代数簇及它们之间的映射，但不错说在代数几何中其实到处都有概形，举例概形不错作为映射的像、映射的纤维，以及用来作为对射影空间中的代数簇进行参数化的模空间等等。东说念主们逐渐发现概形和凝合层的上同调恰是进一步发展代数几何所需要的最合适的谈话，这种谈话也曾是德国粹派和意大利派系所疼痛生机的。格罗滕迪克的概形表面王人备达成了范德瓦尔登、韦伊和扎里斯基要为代数几何打造一个坚实严格的逻辑基础的逸想，他们也曾极端紧急地但愿创造一种粗略同期形色代数簇的拓扑性质和的算术性质的新的无边性谈话。”（见《Development of Mathematics(1950-2000)》一书）。

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图22：中年和晚年的格罗滕迪克

自后的历史发展诠释，当经典代数几何的逻辑基础问题被透彻措置后，代数几何便立即在20世纪的后半叶取得了巨猛弘扬。底下列举了一些通过行使概形表面而取得的要害恶果：

1．芒福德(Mumford)建立了一般模空间的表面；2．广中平佑措置了恣意维数代数簇的奇点解消问题；3．德利涅(Deligne)诠释了数论中韦伊推断；4．法尔廷斯(Faltings)诠释了数论中的莫德尔(Mordell)推断；5．森重文在3维代数簇的分类研究中取得了要津性的打破；6．怀尔斯(Wiles)诠释了数论中有名的费马大定理。

不仅如斯，伴跟着这些要害问题的措置经过，同期又出现了一巨额全新的数学研究领域，其中尤其令东说念主想不到的是概形表面对于数学物理的研究所产生的巨大股东作用，而在量子场论中出现的许多新念念想（举例弦表面、镜像对称和量子上同调等），反过来又促进了对代数簇的拓扑和计数几何的研究。

最近，胥鸣伟针织在他刚出书的《代数几何课本》（高级西席出书社2021年）一书中这样写说念：“从黎曼，到主要以结式为器具，处理可构造性问题的经典派系，到具很强直不雅性的意大利派系，再到建立严格基础的扎里斯基，范德瓦尔登，韦伊，临了到了格罗滕迪克的概形表面：这是一个私密的极具威力的表面，是20世纪数学的最伟大建设之一，于今仍连续上前发展，深入到许多领域。在本书中，咱们试图沿这条道路游览一遍，为进一步研究更深的代数几何联系内容打好基础，诸如代数几何的根蒂问题：分类（包括刻下热门的双有理几何），与表面物理（举例超弦表面）紧密联系的模簇表面，与数论联系的算术代数几何（即在Q，Z或有限域上的代数几何），与K表面联系的周环表面，等等。总之，代数几何是当代数学，罕见是表面数学的最要害的基础之一，它将为你提供念念考数学问题的另一种强盛平台。”

东说念主们常说格罗滕迪克“有一种对于数学可能是什么的瀽瓴高屋般的不雅点”。数学家巴斯(Bass)就曾评价：格罗滕迪克用一种“六合般普适”的不雅点改变了通盘数学的全貌。咱们不妨不错浮浅地将代数几何算作是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。罕见是从代数几何中体现出来的代数与几何互相作用的方式，具有无边的意思，刻下这种念念想轮番一经浸透到了确凿通盘的当代数学各主要分支学科中。

文稿|陈跃剪辑|朱善军

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